# lm.id: modelo linear com efeito aleatório de indivíduo (intercepto aleatório)
lm.id <- lmer(CD4 ~ Meses + tMeses*Grupo + (1|Id), data)

E A QUALIDADE DO AJUSTE? FICOU BOM?

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Verificação dos pressupostos e ajuste do modelo
O ajuste do modelo se mostra satisfatório e os pressupostos são atendidos

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INFERÊNCIA

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Construção da banda de confiança

pred <- expand.grid(Meses = seq(0, 12, .2)
                    , Grupo = levels(data$Grupo)
                    , CD4 = 0)
pred$tMeses <- with(pred, ifelse(Meses <= 4, 0, Meses - 4))
X <- model.matrix(terms(lm.id), pred)
pred$CD4 <- X %*% fixef(lm.id)
var <- diag(X %*% tcrossprod(vcov(lm.id), X))
tlval <- qt(p = .025
            , df = df.residual(lm.id)) * sqrt(var)
tuval <- qt(p = .975
            , df = df.residual(lm.id)) * sqrt(var)
pred$lwr <- pred$CD4 + tlval
pred$upr <- pred$CD4 + tuval

Nesse modelo temos o efeito principal de tMeses e Grupo, além de sua interação

A presença do efeito principal de Grupo faz com que tenhamos duas retas distintas, uma para cada Grupo

No gráfico acima observamos que a curva ajustada para os indivíduos do Grupo 2 se mostra mais elevada, i.e., indica maiores contagens de CD4. Esse comportamento já era de certa forma esperado, já que com a dispersão dos pontos dada no fundo do gráfico podemos observar em geral maiores contagens de CD4 nos indivíduos do Grupo 2

Lembrando. Grupo 1: Indivíduos tratados com terapia anti-retroviral durante 4 meses. Grupo 2: Indivíduos tratados com terapia anti-retroviral durante todo o período de acompanhamento

Do ponto de quebra em diante para os indivíduos do Grupo 1 observamos uma queda nas contagens de CD4. Já nos indivíduos do Grupo 2 observamos uma estagnação

Existe a hipótese de que após um determinado tempo a parada no tratamento (Grupo 1) é benéfica, o que é refletido em maiores contagens de CD4. Pelo gráfico vemos que essa hipótese a princípio não é confirmada

Nos Meses em que todos os indivíduos estão sob tratamento as bandas de confiança dos grupos chegam a se sobrepor, a partir do ponto de quebra, i.e., quando o Grupo 1 para de receber o tratamento, isso já não ocorre mais

Estimativas do modelo em células/mm\(^{3}\)

	Estimativa	Erro padrão
Mês 0 - Grupo 1	251.1166	10.6206
Mês 0 - Grupo 2	270.1609	10.6206
Inclinação - Mês ≤ 4	37.923	1.8412
Inclinação - Grupo 1	-9.1967	1.3266
Inclinação - Grupo 2	1.3669	1.3266
σId	63.7719
σ	62.8239

Considerar um efeito aleatório dos indivíduos significa inserir um diferente intercepto para cada indivíduo. As inclinações das retas são as mesmas, o que muda é apenas o intercepto

O desvio padrão para o intercepto é de 63.77 células/mm\(^{3}\)

Existe certa variação adicional nas contagens de CD4 com desvio padrão de 62.82. Sua alta estimativa pode indica uma considerável variação mês a mês nas contagens de CD4 dos indivíduos

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# lm2.id: modelo linear com efeito aleatório de indivíduo (intercepto aleatório)
lm2.id <- lmer(CD4 ~ Meses + tMeses:Grupo + (1|Id), data)

E A QUALIDADE DO AJUSTE? FICOU BOM?

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Verificação dos pressupostos e ajuste do modelo
O ajuste do modelo se mostra satisfatório e os pressupostos são atendidos

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INFERÊNCIA

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Diferente do modelo 1, aqui não temos o efeito principal de tMeses e Grupo, apenas o efeito de sua interação

A ausência do efeito principal de Grupo faz com que tenhamos uma única reta até o ponto de quebra, o que de certa forma faz sentido, já que até o mês 4 todos estão sendo tratados

As bandas de confiança não se tocam do mês 6 (aproximadamente) em diante, o que indica uma diferença significativa entre as contagens de CD4 dos dois grupos

Lembrando novamente. Grupo 1: Indivíduos tratados com terapia anti-retroviral durante 4 meses. Grupo 2: Indivíduos tratados com terapia anti-retroviral durante todo o período de acompanhamento

Estimativas do modelo em células/mm\(^{3}\)

	Estimativa	Erro padrão
Mês 0	260.6388	8.0029
Inclinação - Mês ≤ 4	37.923	1.8412
Inclinação - Grupo 1	-9.4679	1.3114
Inclinação - Grupo 2	1.6381	1.3114
σId	64.0638
σ	62.8263

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# lm.idm: modelo linear com efeito aleatório de indivíduo (intercepto aleatório)
#         e de indivíduo dentro de meses (inclinação aleatória até o ponto de quebra)
lm.idm <- lmer(CD4 ~ Meses + tMeses*Grupo + (Meses|Id), data)

E A QUALIDADE DO AJUSTE? FICOU BOM?

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Verificação dos pressupostos e ajuste do modelo
O ajuste do modelo se mostra satisfatório e os pressupostos são atendidos

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INFERÊNCIA

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Estimativas de efeito fixo do modelo

	Estimativa	Erro padrão
Mês 0 - Grupo 1	250.9049	10.8059
Mês 0 - Grupo 2	270.3726	10.8059
Inclinação - Mês ≤ 4	37.923	1.8409
Inclinação - Grupo 1	-9.1949	1.3279
Inclinação - Grupo 2	1.3651	1.3279

Considerar um efeito aleatório dos indivíduos e dos indivíduos dentro dos meses significa inserir um diferente intercepto e inclinação até o ponto de quebra para cada indivíduo

VarCorr(lm.idm)

 Groups   Name        Std.Dev. Corr  
 Id       (Intercept) 65.76355       
          Meses        0.42164 -1.000
 Residual             62.79822       

O desvio padrão para o intercepto é de 65.76 células/mm\(^{3}\)

O desvio padrão para a inclinação é de 0.42

Existe certa variação adicional nas contagens de CD4 com desvio padrão de 62.8

Atente para o valor da correlação estimada entre o intercepto e a inclinação aleatória. A estimativa é de -1!

Essa correlação perfeia pode ser observada no gráfico acima

Isso mostra que o intercepto e a inclinação são altamente correlacionados e que essa correlação é negativa, i.e., para baixos valores de um deles temos altos valores do outro

Observe no gráfico abaixo que as inclinações diferem pouco de um indivíduo para outro e que a baixa estimativa do desvio padrão, 0.42, indica que pouca variabilidade dos dados é captada por este componente

Com base em todos os gráficos até aqui apresentados podemos afirmar que para baixos valores de intercepto temos altos valores de inclinações

Dada essa altíssima correlação e a baixa estimativa, há indícios de que o efeito aleatório na inclinação é desnecessário

anova(lm.id, lm.idm)

Data: data
Models:
lm.id: CD4 ~ Meses + tMeses * Grupo + (1 | Id)
lm.idm: CD4 ~ Meses + tMeses * Grupo + (Meses | Id)
       Df    AIC    BIC  logLik deviance  Chisq Chi Df Pr(>Chisq)
lm.id   7 8002.5 8034.4 -3994.3   7988.5                         
lm.idm  9 8006.1 8047.1 -3994.0   7988.1 0.4289      2      0.807

Com um teste de razão de verossimilhança comparamos o modelo 3 com o modelo 1, eles diferem pela inserção de uma inclinação aleatória até o ponto de quebra

Observe que ficamos com o modelo 1, i.e., sem a inclinação aleatória até o ponto de quebra

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# lm2.idm: modelo linear com efeito aleatório de indivíduo (intercepto aleatório)
#          e de indivíduo dentro de meses (inclinação aleatória até o ponto de quebra)
#          não correlacionados
lm2.idm <- lmer(CD4 ~ Meses + tMeses*Grupo + (Meses||Id), data)

E A QUALIDADE DO AJUSTE? FICOU BOM?

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Verificação dos pressupostos e ajuste do modelo
O ajuste do modelo se mostra satisfatório e os pressupostos são atendidos

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INFERÊNCIA

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Estimativas do modelo em células/mm\(^{3}\)

	Estimativa	Erro padrão
Mês 0 - Grupo 1	251.1166	10.6206
Mês 0 - Grupo 2	270.1609	10.6206
Inclinação - Mês ≤ 4	37.923	1.8412
Inclinação - Grupo 1	-9.1967	1.3266
Inclinação - Grupo 2	1.3669	1.3266
σId-0	63.7719
σId-1	0
σ	62.8239

Os valores das estimativas são idênticas as obtidas com o modelo 1

A única diferença é o desvio padrão da inclinação até o ponto de quebra, sua estimativa pontual é de zero

Essa estimativa nula nos diz que a presença deste coeficiente é desnecessária, já que a princípio ele não agrega na explicação da variabilidade e que as variações na inclinação inicial dos indivíduos é sempre a mesma, 0, ou seja, para todos os indivíduos a inclinação até o ponto de quebra é a mesma, 37.92

Esse último gráfico é idêntico ao obtido com o modelo 1, que difere apenas na ausência da inclinação aleatória até o ponto de quebra

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anova(lm2.idm, lm.id)

Data: data
Models:
lm.id: CD4 ~ Meses + tMeses * Grupo + (1 | Id)
lm2.idm: CD4 ~ Meses + tMeses * Grupo + ((1 | Id) + (0 + Meses | Id))
        Df    AIC    BIC  logLik deviance Chisq Chi Df Pr(>Chisq)
lm.id    7 8002.5 8034.4 -3994.3   7988.5                        
lm2.idm  8 8004.5 8040.9 -3994.3   7988.5     0      1          1

Com um teste de razão de verossimilhança comparamos o modelo 4 com o modelo 1

Observe que ficamos com o modelo 1, i.e., sem a inclinação aleatória até o ponto de quebra

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# lm.idt: modelo linear com efeito aleatório de indivíduo (intercepto aleatório)
#         e de indivíduo dentro de tmeses (inclinação aleatória depois do ponto de quebra)
lm.idt <- lmer(CD4 ~ Meses + tMeses*Grupo + (tMeses|Id), data)

E A QUALIDADE DO AJUSTE? FICOU BOM?

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Verificação dos pressupostos e ajuste do modelo
O ajuste do modelo se mostra satisfatório e os pressupostos são atendidos

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INFERÊNCIA

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Estimativas de efeito fixo do modelo em células/mm\(^{3}\)

	Estimativa	Erro padrão
Mês 0 - Grupo 1	251.1166	10.7994
Mês 0 - Grupo 2	270.1609	10.7994
Inclinação - Mês ≤ 4	37.923	1.84
Inclinação - Grupo 1	-9.1967	1.3299
Inclinação - Grupo 2	1.3669	1.3299

Considerar um efeito aleatório dos indivíduos e dos indivíduos dentro de tMeses significa inserir um diferente intercepto e inclinação depois do ponto de quebra para cada indivíduo

VarCorr(lm.idt)

 Groups   Name        Std.Dev. Corr  
 Id       (Intercept) 65.27149       
          tMeses       0.74659 -1.000
 Residual             62.78243       

Atente para o valor da correlação estimada entre o intercepto e a inclinação aleatórios. A estimativa é de -1

Isso mostra que o intercepto e a inclinação são altamente correlacionados e que essa correlação é negativa, i.e., para baixos valores de um deles temos altos valores do outro

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anova(lm.idt, lm.id)

Data: data
Models:
lm.id: CD4 ~ Meses + tMeses * Grupo + (1 | Id)
lm.idt: CD4 ~ Meses + tMeses * Grupo + (tMeses | Id)
       Df    AIC    BIC  logLik deviance  Chisq Chi Df Pr(>Chisq)
lm.id   7 8002.5 8034.4 -3994.3   7988.5                         
lm.idt  9 8005.8 8046.8 -3993.9   7987.8 0.6938      2     0.7069

Com um teste de razão de verossimilhança comparamos o modelo 5 com o modelo 1

Observe que ficamos com o modelo 1, i.e., sem a inclinação aleatória depois do ponto de quebra

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# lm2.idt: modelo linear com efeito aleatório de indivíduo (intercepto aleatório)
#          e de indivíduo dentro de meses (inclinação aleatória depois do ponto de quebra)
#          não correlacionados
lm2.idt <- lmer(CD4 ~ Meses + tMeses*Grupo + (tMeses||Id), data)

E A QUALIDADE DO AJUSTE? FICOU BOM?

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Verificação dos pressupostos e ajuste do modelo
O ajuste do modelo se mostra satisfatório e os pressupostos são atendidos

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INFERÊNCIA

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Estimativas do modelo

	Estimativa	Erro padrão
Mês 0 - Grupo 1	251.1166	10.6206
Mês 0 - Grupo 2	270.1609	10.6206
Inclinação - Mês ≤ 4	37.923	1.8412
Inclinação - Grupo 1	-9.1967	1.3266
Inclinação - Grupo 2	1.3669	1.3266
σId-0	63.7719
σId-1	0
σ	62.8239

Os valores das estimativas são idênticas as obtidas com o modelo 1

A única diferença é o desvio padrão da inclinação depois do ponto de quebra, sua estimativa pontual é de zero

Essa estimativa nula nos diz que a presença deste coeficiente é desnecessária, já que a princípio ele não agrega na explicação da variabilidade e que as variações na inclinação dos indivíduos é sempre a mesma, 0

Esse último gráfico é idêntico ao obtido com o modelo 1

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anova(lm2.idt, lm.id)

Data: data
Models:
lm.id: CD4 ~ Meses + tMeses * Grupo + (1 | Id)
lm2.idt: CD4 ~ Meses + tMeses * Grupo + ((1 | Id) + (0 + tMeses | Id))
        Df    AIC    BIC  logLik deviance Chisq Chi Df Pr(>Chisq)
lm.id    7 8002.5 8034.4 -3994.3   7988.5                        
lm2.idt  8 8004.5 8040.9 -3994.3   7988.5     0      1          1

Com um teste de razão de verossimilhança comparamos o modelo 6 com o modelo 1, eles diferem pela inserção de uma inclinação aleatória depois do ponto de quebra

Observe que ficamos com o modelo 1, i.e., sem a inclinação aleatória até o ponto de quebra

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# lm.id2: modelo linear com efeito aleatório de indivíduo (intercepto aleatório)
#         e termo quadrático até o ponto de quebra
lm.id2 <- lmer(CD4 ~ Meses + I(Meses**2) + tMeses*Grupo + (1|Id), data)

E A QUALIDADE DO AJUSTE? FICOU BOM?

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Verificação dos pressupostos e ajuste do modelo
O ajuste do modelo se mostra satisfatório e os pressupostos são atendidos

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INFERÊNCIA

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Observamos o mesmo comportamento dos demais gráficos, isso nos diz que o termo quadrático não é significativo

Estimativas do modelo em células/mm\(^{3}\)

	Estimativa	Erro padrão
Mês 0 - Grupo 1	251.1042	10.6237
Mês 0 - Grupo 2	270.1485	10.6237
Inclinação (x) - Mês ≤ 4	37.9872	2.0622
Inclinação (x²) - Mês ≤ 4	-0.0307	0.4426
Inclinação - Grupo 1	-8.7274	6.8969
Inclinação - Grupo 2	1.8362	6.8969
σId	63.7645
σ	62.8763

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anova(lm.id2, lm.id)

Data: data
Models:
lm.id: CD4 ~ Meses + tMeses * Grupo + (1 | Id)
lm.id2: CD4 ~ Meses + I(Meses^2) + tMeses * Grupo + (1 | Id)
       Df    AIC    BIC  logLik deviance  Chisq Chi Df Pr(>Chisq)
lm.id   7 8002.5 8034.4 -3994.3   7988.5                         
lm.id2  8 8004.5 8040.9 -3994.3   7988.5 0.0048      1     0.9445

Com o teste de razão de verossimilhança temos a confirmação de que a inserção do termo quadrático não é estatísticamente significativa, i.e., os dados são melhores descritos pela reta até o ponto de quebra

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